日常生活の中で出来事から、考えたこと、感じたことを適当に。 音楽やら、数学やら、食べ物の話やら、好きなことを好きなだけ気が済むままに。

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視野を広げる
またまた数学の話。今日はちょっと難しいです。

「素数は無限に存在すること」はユークリッドの時代(紀元前300年ごろ)から、証明されていた。
このころから、素数を求める関数は数学者達の夢だった。いまだ発見されていないその関数はΠ(パイ)関数と呼ばれている。
Π(n)はn番目の素数を与え、逆にΠ(n)=X(正の整数)とすれば、Xが素数であるかが判定できる。

Π関数については、まったく進化がないまま時代は一気に18世紀後半まで進む。
ドイツにガウスが生まれ、ガウスは素数表の中から大きな規則のようなものを発見し、素数の公式の足がかりとする。(対数積分と呼ばれる)

π(N)=N/log(N)

これは、前述のΠ関数(大文字のΠ)とは異なる関数である。π関数(小文字のπ)は、「整数Nまでの素数の個数を見積もる関数」である。
ガウスは、Nが素数か否かを判定する関数を発見するのは困難だが、1からNまでの素数の個数を見積もる関数なら見つかるかもしれないと考えた。Nにだけ注目するのでなく、1からNまでの範囲に注目したのだ。
結果として、π関数(小文字)が発見できれば、Π関数(大文字)はπ関数であらわせることになる。(後日ブログに書きます。)
実際には正確な個数は見つもれず、ある程度誤差がでる。

ガウスの功績は、2000年近くとまっていた素数研究の足がかりを発見したことにある。ひとつの数に注目し関数を求め続けていた2000年間の努力を、視野を広げ範囲に注目することで一気に開拓してみせた。
2000年間進歩の無かった素数の分野は、ガウスの発見からわずか50年も待たずにリーマン予想まで発展する。

ガウスとリーマンは、数直線上に不規則に現れる素数ひとつひとつに注目するのでなく、範囲に注目しそのリズムを捕らえた。
ひとつひとつの素数が持つ音色(性質)もすばらしいが、素数がもつ音色に飽き足らず、素数のリズムを初めて人類が聞き取った瞬間だった。

参考文献)素数の音楽 マーカス・デュ・ソートイ著
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